Matematichiamo?
La matematica è più divertente di quanto si pensi!
Il marchese di Condorcét fu un matematico del XVIII secolo, membro di diverse organizzazioni tra cui la massoneria e gli enciclopedisti.
Il suo famoso paradosso si riferisce alle scelte politiche dei cittadini francesi del suo tempo, ma è applicabile a qualsiasi situazione in cui una collettività si trova a dover scegliere qualcosa periodicamente. Fondamentalmente ci dice che nonostante le scelte individuali possano essere piuttosto stabili, quelle collettive saranno invece cicliche.
Si propone un canonico esempio da manuale per comprendere la portata di questa teoria: supponiamo che tre cittadini (che chiameremo Albert, Bernard, Claire) possano scegliere tra tre partiti politici alle elezioni (il partito Azure, Blance e Celeste) come prima scelta, uno dei due rimanenti come seconda scelta,e un'elezione a doppio turno.
Anche se supponiamo una situazione di massimo equilibrio (A nell'ordine preferisce A-B-C, B nell'ordine B-C-A e C nell'ordine C-A-B) in base a quale partito si riuscirà ad eliminare al primo turno si avrà la vittoria finale dell'uno o dell'altro partito.
Se al primo turno salta A, quindi, verrà premiato B (seconda scelta di Albert che non potrà votare per A), se al primo turno salta B vincerà C (seconda scelta di Bernard) e se salta C vincerà A.
Da qui la "lotta" dei partiti moderni a "far fuori" l'avversario piuttosto che a proporre i propri temi. Ammesso che temi ne abbiano...
Giocando a testa o croce con una moneta non truccata si paga una certa cifra che chiameremo "P" per partecipare al gioco. La vincita dipenderà da quando uscirà croce: 1 euro se esce al primo lancio con raddoppio ad ogni successivo lancio (2 euro se esce al secondo, 4 euro se esce al terzo, 8 euro se esce al quarto e così via).
Quanto si può essere disposti a pagare per partecipare a questo gioco?
La domanda che potremmo farci per rispondere è: qual è la probabilità che esca croce al k-esimo lancio?
Facendo due calcoli sulla probabilità otteniamo uno fratto due elevato a k.
Quale sarà quindi il valore di guadagno atteso per questo gioco?
1/2*1 (ossia il 50% di probabilità di vincere 1 euro) + 1/4*2 (25% di probabilità di vincere 4 euro) e così via, ottenendo quindi una serie divergente che va a più infinito (la sommatoria da 1 a infinito di 1/2).
Potremmo quindi scommettere una cifra altissima supportati da un guadagno certo nel lungo periodo, eppure nessuno spenderebbe più di qualche euro per partecipare.
E qui sta il paradosso...
Mescoliamo tre carte particolari: la prima (A) rossa su entrambi i lati, la seconda (B) rossa su un lato e blu sull'altro mentre la terza (C) è blu su entrambi i lati.
Scegliamo a caso una carta e mettiamola sul tavolo. Possiamo vedere uno dei suoi lati, supponiamo sia il rosso. Qual è la probabilità che anche il lato non visibile sia di colore rosso?
Intuitivamente si può essere portati a dire la metà, il 50%, in quanto due carte possono mostrare un lato rosso ma solo una ha entrambi i lati dello stesso colore (quindi un caso favorevole su due totali), in realtà la risposta esatta è un'altra. Quale?
Analizzando il concetto di padre possiamo dire che: "Essere un padre significa essere un genitore maschio". Ma "padre" e "genitore maschio" non sono forse sinonimi? Se così fosse l'analisi sarebbe un lavoro banale. Ha senso quindi chiedersi se sia possibile un'analisi che offra davvero delle informazioni sull'oggetto di analisi?
La probabilità che almeno due persone in un gruppo compiano gli anni lo stesso giorno è molto più alta di quello che si potrebbe pensare intuitivamente.
Bastano 23 persone infatti per avere una probabilità di oltre il 50% (esattamente il 51%) di averne due che festeggeranno insieme; con 30 persone superiamo già il 70% e con 50 persone la certezza è quasi totale: 97%!
Quasi totale, appunto, perché la certezza di averne due che compiano gli anni nello stesso giorno l'avremo solamente con...quante persone?
A giudicare dalle apparenze sembrerebbe che ci siano più numeri interi (1, 2, 3, ...) che quadrati di questi numeri (1, 4, 9, ...).
Tuttavia i numeri interi possono essere messi in corrispondenza biunivoca coi loro quadrati, perciò ci sono tanti interi quanti quadrati.
Il paradosso del buon samaritano: se Daniele aiuta una persona che è stata derubata significa che questa persona è stata derubata, ma la legge vieta che si possa rubare.
Possiamo logicamente concludere che sia vietato a Daniele aiutare la persona derubata.
La formulazione di questo paradosso non segue un principio di logica matematica corretto, so tratta solo di un imbroglio lessicale. Qualcuno ne consoce una formulazione rigorosa?
Un asino affamato e assetato si trova esattamente nel mezzo tra due balle di fieno e due secchi d'acqua. Non c'è niente che lo porti a scegliere di andare da una parte oppure dall'altra quindi resta fermo e muore di fame e di sete.
Monty Hall è il nomignolo affibbiato al conduttore americano Maurice Halprin nella trasmissione Let's Make A Deal.
In questa trasmissione ci sono tre porte; dietro una di queste c'è un'automobile, dietro le altre due ci sono due capre. Puoi scegliere quella che vuoi.
Dopo la scelta Monty apre una delle altre porte e ti mostra una capra. A questo punto puoi scegliere: "confermi la tua porta o la cambi?". Tu cosa faresti?
In molti portano argomenti a favore della conservazione (ti fa vedere la capra per trarti in inganno, se ti propone di cambiare è per farti perdere, ...) e in molti a favore del cambio ma la risposta giusta esiste ed è estremamente...logica!
Innanzitutto nessuno può prevedere il futuro quindi scordatevi di avere la giusta "intuizione", si tratta di fortuna.
Parliamo invece di probabilità: avevi 3 porte e ne hai scelta 1. Quale probabilità avevi di vincere? 1 su 3 ossia il 33,33%.
Il conduttore ha svelato una porta quindi ora hai due porte tra cui scegliere. Se mantieni la scelta mantieni anche la probabilità che avevi quando hai scelto, il 33,33%, cambiando invece sai che la porta rimasta ha ora il 66,67% di probabilità di contenere l'automobile.
Analizziamo i casi: se tu hai scelto la porta con la capra 1 il conduttore aprirà la porta con la capra 2 e cambiando vinci, se hai scelto la porta con la capra 2 il conduttore aprirà quella con la capra 1 e cambiando vinci di nuovo. L'unico caso perdente è quello in cui avevi già scelto la porta corretta, caso in cui a prescindere da cosa aprirà il conduttore tu cambiando perderai. Statisticamente, quindi, è più probabile vincere cambiando la propria scelta che mantenendola!
Supponiamo che ci siano due eventi statistici con una certa relazione tra loro. Può capitare che a causa di ulteriori eventi non presi in considerazione l'analisi della relazione tra i due eventi statistici risulti addirittura invertita rispetto all'evidenza dei dati reali.
Formalmente possiamo dire che nonostante la probabilità di un certo evento "A" condizionata al verificarsi congiuntamente dei due eventi "B" e "C" sia maggiore della probabilità dell'evento "A" condizionata al verificarsi del complementare di "B" e dello stesso "C" e che la probabilità dell'evento "A" condizionata al verificarsi congiunto dei due eventi complementare di "C" e "B" sia maggiore della probabilità di verificarsi dell'evento "A" condizionata al verificarsi dell'evento complementare a "B" e complementare di "C", accade che la probabilità del verificarsi dell'evento "A" condizionata all'evento "B" sia minore della probabilità di verificarsi dell'evento "A" condizionata all'evento complementare di "B".
Il paradosso si spiega con gli errati pesi attribuiti ai vari eventi coinvolti nell'analisi ed è causa di molti errori statistici.
Anche se potrebbe essere vero che questa pillola mi guarirà, e potrebbe essere vero che mi guarirà perché io lo credo, non posso credere che mi guarirà solo perché credo che lo farà.
Si tratta di una rielaborazione del famoso paradosso di Russel: "il responsabile di una grande biblioteca deve produrre i cataloghi della sua libreria. Compie quindi una prima catalogazione per titoli, seguita da una per autori, poi per argomenti e per numero di pagine. Continua generando sempre nuove categorie. Visto che i cataloghi si moltiplicano a dismisura, il bibliotecario inizia a stendere il catalogo di tutti i cataloghi. Qui si trova a constatare che la maggior parte dei cataloghi non riporta se stessa, ma ve ne sono alcuni che riportano se stessi. Essendo un tipo zelante il bibliotecario decide di costruire il catalogo di tutti i cataloghi che non includono sé stessi.
Il giorno dopo, dopo aver trascorso una notte insonne passata chiedendosi se tale nuovo catalogo dovesse o non dovesse contenere se stesso, il bibliotecario chiede di essere dispensato dall'incarico".
La frase: "tutti i corvi sono neri" è equivalente a: "se qualcosa non è nero, allora non è un corvo".
Sembra uno scioglilingua quindi suggerisco di rileggere bene le proposizioni prima di continuare.
L'apparente paradosso, apparente perché si fonda su un senso comune che non è matematicamente corretto, può essere risolto notando che se la prima affermazione è falsa (se vedessimo un corvo non nero allora lo sarebbe) sarebbe falsa anche la seconda affermazione mentre se la prima affermazione è vera allora lo è anche la seconda.
Le due proposizioni sono logicamente equivalenti perché restituiscono valore di verità identico in ogni situazione reale riscontrata.
C'è un hotel con infinite stanze. Un sera un avventore si presenta al portiere chiedendo una stanza. "Mi spiace, siamo al completo" risponde il guardiano notturno. Di fronte all'insistenza del cliente, però, il portiere decide di accontentarlo. Viene chiesto a ciascuno degli infiniti ospiti presenti di occupare la stanza successiva, in questo modo la prima si libera per il nuovo cliente.
Chissà quanti soldi avrà incassato il Grand Hotel quella notte...
Il paradosso della ruota di Archimede.
Questo esperimento mostra (dimostra?) Che le due circonferenze hanno la stessa lunghezza?
È evidente che non sia così. Quindi?
Il paradosso della Bella Addormentata. Supponiamo di fare un esperimento con questa bellissima principessa Disney, che viene addormentata e drogata in modo da non ricordare assolutamente nulla dei suoi precedenti risvegli, se non le regole del gioco (che poi manco la strega di Biancaneve può inventare una pozione del genere!).
Le regole dell'esperimento prevedono che una volta addormentata verrà lanciata una moneta: se il lancio darà testa, la Bella Addormentata sarà svegliata una volta sola, se darà croce due volte.
La domanda che ci si pone è la seguente: quando la Bella Addormentata viene risvegliata, quale probabilità dovrebbe assegnare al fatto che il lancio della moneta abbia dato testa?