Matematichiamo?
La matematica è più divertente di quanto si pensi!
2022 A47
Nel piano cartesiano di coordinate (x,y), considera la retta r di equazione cartesiana:
2x + 3y = 6.
Quali delle seguenti opzioni forniscono una rappresentazione parametrica della retta r?
2022 A47
Possiamo risolvere questo esercizio esplicitando la t e sostituendola nell'equazione in y.
Portando il tutto alla forma implicita si può verificare quali delle risposte abbiano le caratteristiche richieste dal quesito.
La prima risulta essere corretta, la seconda e la terza no, la quarta di nuovo è corretta.
Un modo più sbrigativo che non richiede di fare molti calcoli può essere quello di guardare ai coefficienti di x e y: nella mia r ho 2 come coefficiente di x e 3 quello di y. In primis dovrei verificare che il rapporto tra x e y risulti di 2/3, cosa che nelle due parametriche errate non avviene (il rapporto è invertito, 3/2, ossia 3 è il coefficiente di y e 2 quello di x).
La prima e la quarta risultano una valida parametrizzazione di r perché, oltre ad avere i coefficienti corretti, hanno come termine noto quel fattore che, moltiplicato per il denominatore, da proprio 6, il termine noto previsto da r.
E' corretto rispondere, quindi, che la prima e la quarta rappresentano forse parametriche corrette della retta r.
La funzione f: R-->R, definita da
risulta, in x = 0:
Innanzitutto la definizione di derivabilità puntuale: una funzione è derivabile in un punto quando esistono finiti e coincidono il limite destro e sinistro del rapporto incrementale in quel punto.
Quindi abbiamo bisogno di conoscere qualche proprietà delle potenze, tipo che quella funzione equivale a x elevato a sette terzi.
In ultimo le derivate fondamentali: la derivata di x elevato n non è altro che n per x elevato n-1.
A questo punto analizziamo la situazione della nostra funzione:
per x = 0 la funzione vale 0. Calcolando la derivata si ottiene un coefficiente (7/3 in questo caso) che moltiplica x elevato 7/3 - 1, ossia 4/3. Limite sinistro e destro coincidono e valgono 0.
derivando la derivata otteniamo di nuovo un coefficiente (7/3*4/3) che moltiplica x elevato 4/3 . 1, ossia 1/3. Anche in questo caso i limiti esistono e coincidono, valendo 0.
La regolarità si rompe con la terza derivazione della funzione: se il coefficiente si modifica in un modo che non ci interessa particolarmente, l'esponente di x diventa negativo: 1/3 - 1 = -2/3.
In questo caso dobbiamo conoscere un'altra proprietà delle potenze, ossia che il segno negativo diventa positivo invertendo denominatore e numeratore. Questa funzione, quindi, ha un fattore numerico che divide la radice terza di x alla seconda. In questo caso i limiti per x che tende a zero non sono più finiti, pertanto f(x) non è derivabile in x = 0 più di due volte.
2022 A47
Sia k un numero reale. Considera il seguente sistema lineare a coefficienti reali, nelle indeterminate x e y:
Indica la risposta corretta tra le seguenti opzioni.
La conoscenza decisiva per la risoluzione di questo problema è relativa ai coefficienti delle due variabili x e y. In particolare dobbiamo sapere che se una delle due equazioni rappresenta una combinazione lineare dell'altra, il sistema risulterà indeterminato, quindi sempre vero, mentre se i monomi in x e in y hanno coefficienti linearmente correlati mentre il termine noto no, allora otterremo un sistema impossibile. In tutti gli altri casi il sistema sarà determinato.
Per farla semplice, il coefficiente di x nell'equazione sotto è cinque volte il coefficiente di x sopra, quindi se il coefficiente di y sotto fosse cinque volte quello di y sopra i due sarebbero proporizonali e il sistema risulterà impossibile o sempre vero. Per saperlo ci serve solo verificare se 1 (termine noto sotto) è cinque volte 7 (termine noto sopra). Ovviamente no, quindi con k = -5 avremo un sistema impossibile, mentre con k = 5 x e y sono decorrelate e quindi il sistema sarà determinato.
In virtù di questa analisi del sistema, l'unica affermazione valida è la prima. Attenzione alla quarta che dice una falsità contenendo però un'affermazione equivocabile. Per k=5, infatti, il sistema ha un'unica soluzione. La falsità dell'affermazione risiede in: "se e solo se" in quanto di valori di k idonei a darci un'unica soluzione ce ne sono infiniti.